En el artículo de hoy veremos cómo descomponer cualquier número natural en una multiplicación de números primos, es decir, a realizar una descomposición factorial.

Puedes ver el contenido del artículo también en el  vídeo de aquí abajo. No olvides que también encontrarás ejercicios al final del artículo para que practiques la descomposición factorial.

Números primos y compuestos

Tras el último artículo: los números primos, puede que te estés preguntando de qué nos sirven los números primos. Pues bien, los números primos tienen una curiosa y útil propiedad: los números naturales o son primos o son múltiplos de números primos.

Es decir, que un número natural cualquiera (excepto el uno) siempre será divisible entre un número primo. Así que cualquier número natural (cualquiera) se puede expresar como una multiplicación de números primos.

Por ejemplo:

  • El 6 es 2 x 3. Tanto el 2 como el 3 son números primos
  • El 21 es 3 x 7. El 3 y el 7 son números primos.
  • El 910 es 2 x 5 x 7 x 13, y los cuatro números son primos.

En el fondo, lo que hacemos es desmontar el número en una multiplicación de números más pequeños, que son todos primos. Este desmontaje se conoce en matemáticas como descomposición.  Si recordamos, como vimos al hablar de la multiplicación, que los números que se multiplican se llaman factores.  Es fácil entender por qué los matemáticos llaman a encontrar estas igualdades: descomponer en factores primos.

Cuando el número es pequeño, como 6 o 21 no es difícil encontrar la combinación de números primos que dan ese número, pero cuando el número es más grande, como el 910, ya es otra cosa. Para facilitar la tarea, existe un método para encontrar los factores primos.

Método de descomposición de factores primos

Imaginemos que queremos encontrar los factores primos del número 20.

Nos será de ayuda tener presente la lista de números primos que vimos en el artículo anterior (o que ya sabemos) porque vamos a ir probando que números primos dividen al 20.

Para ello dibujamos una línea vertical al lado del 20 que nos servirá para separar los cálculos:

El siguiente paso es mirar el número primo más pequeño: el 2. Tenemos que pensar si el 2 es un divisor de 20, es decir, si puede dividir al 20 de forma exacta.  Tal y como vimos al hablar de los criterios de divisibilidad, todos los números pares son divisibles por 2, y como 20 es par, se puede dividir entre 2. Lo escribimos en el lado derecho de la línea:

20 entre 2 nos da 10, así que lo escribimos debajo del 20:

Ahora nos planteamos, igual que antes, si 10 es divisible entre 2.

Como 10 es par, también será divisible. Escribimos el 2 a su lado y el resultado de 10 entre 2, que es 5, debajo del 10:

Tenemos que mirar ahora si el 5 es divisible por 2. Como es impar, no se puede dividir 5 de forma exacta entre 2, así que no es divisible por 2. Por tanto, sin escribir nada, miraremos si es divisible por el siguiente número primo, que es el 3.

El 5 no se puede dividir de forma exacta entre 3, así que tampoco lo escribimos.

Pasamos al siguiente número primo, el 5.

Aquí sí, 5 es divisible entre 5, porque se pueden dividir de forma exacta. Escribimos pues el 5 y anotamos el resultado de la división que es 1:

Cuando llegamos a 1 en la columna izquierda, la descomposición factorial termina. Ya tenemos el resultado que queríamos. Si nos fijamos, a la derecha de la línea ha quedado una lista de números, y todos son primos:

Ahora sabemos que el número inicial, el 20, es igual a 2 por 2 por 5:

20 = 2 x 2 x 5

De esta forma, que con un poco de práctica es muy rápida, hallamos la descomposición factorial de cualquier número.

Otro ejemplo de descomposición

Descompongamos en factores primos el número 42.

Como antes anotamos los primeros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…

y hacemos una línea vertical al lado del 42.

¿Es el 42 divisible de forma exacta por 2?

En efecto, es par y se puede dividir por 2. Escribimos el 2 y el resultado de la división. 42 entre 2 son 21:

Ahora, ¿el 21 es divisible por 2? No, el 21 es impar y por tanto no es divisible de forma exacta por 2. Tendremos que pasar al siguiente número primo: el 3.

¿21 es divisible por 3? Sí. Podemos ver  que 3 por 7 son 21 o también podemos seguir el truco que vimos en los criterios de divisibilidad y darnos cuenta que 21 está formado por 2 y 1, que sumados dan 3. Como el 3 es divisible por 3, el 21 también. Es muy útil tener presentes los criterios de divisibilidad porque nos ahorrarán mucho trabajo y nos harán ir mucho más rápido y seguros.

Escribimos el 3 y el resultado de 21 entre 3, que son 7:

¿El 7 es divisible entre 3? No. Miramos el siguiente número primo: el 5.

Tampoco podemos dividir de forma exacta 7 entre 5, así que pasamos al siguiente número primo: el 7.

Ahora sí, el 7 se puede dividir entre 7 y nos da 1:

Como hemos llegado a 1, acabamos la operación de descomposición.

Ya podemos decir que el número inicial, el 42, es el producto de 2, 3 y 7:

42 = 2 x 3 x 7

Muy fácil.

Ejemplo con un número más grande

Calcularemos los factores primos de un número más grande para que veamos que no es nada complicado. Descompondremos el número 396.

Igual que antes tenemos presentes las lista de números primos y dibujamos una línea vertical (si se nos quedara corta siempre podemos alargarla cuando queramos):

Como siempre empezamos por el primo más pequeño, el 2.

396, es par, así que es divisible por 2, y si hacemos la división nos dará 198:

El 198 también es par, así que también se puede dividir entre 2 y nos dará, si hacemos la división, 99:

El 99 ya no es divisible por 2 así que miramos el 3. Podemos probar a hacer la división a ver si da exacta o usar los criterios de divisibilidad del 3. Sumamos 9 más 9 que da 18, como el 18 es divisible entre 3, también lo será el 99. Si hacemos la división dará un resultado de 33:

El 33 también es divisible entre 3 (3 + 3 = 6, que es divisible entre 3, por tanto 33 también) y nos da 11:

El 11 ya no es divisible entre 3 de forma exacta (1 + 1 = 2, como el 2 no es divisible por 3, el 11 tampoco), así que pasamos al siguiente número primo, el 5.

El 11 no es divisible entre 5 de forma exacta, ya que como vimos en los criterios de divisibilidad del 5], sólo es divisor de los números acabados en 5 o en 0, y el 11 no cumple las condiciones.

Miramos el siguiente primo, el 7. 11 entre 7 no da un número exacto, así que pasamos al siguiente número primo, el 11.

Ahora si, 11 es divisible entre 11, y el resultado, obviamente, da 1:

Ya hemos acabado la descomposición.

El número original, el 396 se igual a 2 por 2 por 3 por 3 por 11:

396 = 2 x 2 x 3 x 3 x 11

Si practicamos un poco y tenemos presente la lista de números primos y los criterios de divisibilidad, la descomposición factorial de cualquier número es algo mecánico y sencillo.

Resumiendo:

  • Los números primos son los números naturales que sólo pueden dividirse de forma exacta por 1 y por ellos mismos.
  • El 1 NO es un número primo
  • Todos los números se pueden expresar como una multiplicación de números primos
  • Para saber qué números primos forman esta multiplicación usamos la operación de descomposición en factores primos, también llamada simplemente descomposición factorial.

Ejercicios de descomposición factorial

La práctica lleva a la perfección. Aquí encontrarás ejercicios para practicar la descomposición factorial.