En el artículo de hoy veremos qué es y cómo calcular el Máximo Común Divisor de 2 o más números.

Puedes ver el contenido del artículo también en el  vídeo de aquí abajo. No olvides que también encontrarás ejercicios  y problemas  de Máximo Común Divisor al final del artículo para que entrenes y lo entiendas mejor.

El problema de la repartición

Después de seguir al Sensei de las mates, y si estás muy perdido en la vida, tal vez acabes siendo profesor. O peor: profesor de mates.  En ese caso te encontrarás con uno de los problemas más habituales de un profesor: hacer grupos.

Imagina que tienes una clase de 18 alumnos. Para realizar una práctica hay que dividir a los alumnos en grupos iguales sin que sobre ninguno. Tenemos varias posibilidades:

  • Hacer 1 solo grupo con todos los alumnos. No sería muy práctico pero no habría que romperse mucho la cabeza.
  • También podemos hacer 2 grupos de nueve alumnos. Al tener un número par de alumnos no hay problemas en dividirlos por la mitad.
  • Otra opción es formar 3 grupos de seis personas.
  • O 6 grupos de tres personas, que son más manejables.
  • Se puede colocarlos por parejas y tendríamos 9 grupos iguales.
  • Y por último, podríamos poner a trabajar a cada alumno solo formando 18 grupos unipersonales.

Como vemos, a la hora de formar grupos iguales, nuestras opciones (1, 2, 3, 6, 9 y 18) son los divisores de la cantidad de alumnos que tenemos (18).

¿Y en una clase distinta?

En la clase de al lado tienes 24 alumnos. Si quieres dividir la clase en grupos iguales sin que sobre ninguno, tienes más posibilidades que antes:

  • Puedes hacer 1 grupo con todos los alumnos.
  • 2 grupos de una docena de alumnos.
  • 3 grupos de ocho alumnos.
  • 4 grupos de seis alumnos.
  • 6 grupos de cuatro alumnos.
  • 8 grupos de tres alumnos.
  • 12 grupos de dos alumnos.
  • Y 24 grupos si ponemos a los alumnos a trabajar en solitario.

En total hay ocho posibilidades de agrupar a los alumnos (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24), es decir, todos los divisores de 24.

Muy bien, pero ¿qué es el Máximo Común Divisor?

Ahora pensemos que queremos hacer la misma práctica en las dos clases: la 18 alumnos y la de 24 alumnos.

Recordemos que podíamos dividir la primera clase en grupos de 1, 2, 3, 6, 9 y 18 alumnos.

Y la segunda clase en grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 alumnos.

Estos son los divisores de los alumnos que hay en cada clase.

No olvidemos que queremos hacer la misma práctica para todos, así que la cantidad de personas que haya en cada grupo tiene que coincidir en las dos clases. Por tanto hemos de mirar que grupos coinciden en las dos clases. O dicho de otro modo: los divisores que tienen en común.

En primer lugar, en las dos clases se pueden hacer grupos de 1 alumno.

También grupos de 2 alumnos y grupos de 3 alumnos.

Grupos de 4 alumnos sólo se pueden hacer en la segunda clase, así que no nos vale. Pero sí se pueden hacer grupos de 6 alumnos en las dos clases.

Ningún otro divisor coincide en las dos clases. Sólo el 1, el 2, el 3 y el 6.

Eso quiere decir, que si queremos que en las dos clases los grupos sean iguales, sólo los podemos hacer de 1, 2, 3 o 6 alumnos.

Si lo que nos interesa es que los grupos sean lo más grandes posibles (para no tener que corregir tanto), haremos los grupos de 6 alumnos (la opción con más personas por grupo).

Por tanto, el más grande, o dicho de otro modo, el máximo de los divisores que tienen en común las dos clases es el 6.

O expresado de forma más matemática, el Máximo Común Divisor de 18 y 24 es 6.

Lo cual se abrevia: M.C.D (18,24) = 6.

¿Y esto funciona siempre?

Siempre que tratemos con números naturales. Veámoslo en otro ejemplo.

Si las dos clases fueran de más gente, por ejemplo de 120 personas y de 72 personas, seguiríamos el mismo proceso.

Buscaríamos los divisores de 120, que son un montón: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120.

Y los divisores de 72, que también son unos cuantos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24, 36 y 72

Luego, con cuidado, miramos cuáles aparecen en las dos listas, es decir los divisores comunes, y obtenemos estos ocho: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

De ellos, el más grande, el máximo, es el 24.

Por tanto, el máximo común divisor de 120 y 72 es 24.

Es decir, los grupos más grandes que podríamos hacer en las dos clases serían de 24 personas.  Lo cual daría para 5 grupos en la clase de 120 alumnos y 3 grupos para la clase de 72 alumnos.

Buff, pero buscar todos los divisores es mucho trabajo.

Cierto. Este método funciona, pero no cuesta ver que cuando los números son grandes es un método lento porque tienes que buscar muchos divisores, y es fácil equivocarse o dejarse alguno al buscarlos o al compararlos.

Por suerte, se ha inventado otro método para hallar más rápidamente el más grande de los divisores comunes.

Máximo Común Divisor. El método

Imaginemos que queremos saber el Máximo Común Divisor de 24 y 30. Es decir, que de todos los divisores que 30 y 24 tienen en común, queremos saber cuál es el mayor.

Lo primero que hay que hacer es descomponer el 24 en factores primos tal y como vimos en este artículo.

Por tanto, el 24 se puede expresar como:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Tal y como vimos en el artículo sobre potencias, la multiplicación del mismo número se puede expresar en forma de potencia, así que 2 por 2 por 2 es puede escribir como 2 elevado al cubo:

2 · 2 · 2 = 23

Así que el 24 puede expresarse de dos formas:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23

De la misma forma, también descomponemos factorialmente el 30:

Aquí no podemos expresar ningún número como potencia porque no se repite ninguno.

Ponemos la descomposición factorial del 24 y del 30 juntas  y las comparamos:

24 = 23 · 3

30 = 2 · 3 · 5

Estamos buscando los divisores comunes, así que nos fijamos en los factores que se repiten en las multiplicaciones del 24 y del 30.

En este caso, vemos que en ambas multiplicaciones hay doses:

24 = 23 · 3

30 = 2 · 3 · 5

y también hay treses:

24 = 23 · 3

30 = 2 · 3 · 5

El 5 sólo está en una, así que no es un divisor común, sólo del 30.

De estos factores que se repiten, y sólo de los que se repiten (es decir, de los doses y de los treses), hay que coger el más pequeño de cada grupo.

Entre 23 que hay en la multiplicación del 24, y el 2 que hay en la multiplicación del 30, está claro que el más pequeño es el 2 (porque 23 vale 8). Así que en el Máximo Común Divisor de 24 y 30, de momento tenemos un 2:

M.C.D.(24, 30) = (2)

Hacemos lo mismo para el otro grupo repetido, los treses. Entre el 3 de la multiplicación del 24 y el 3 de la multiplicación del 30, no hay diferencia, así que escribimos cualquiera de ellos al lado de lo que ya teníamos:

M.C.D.(24, 30) = (2 y 3)

Ahora simplemente multiplicamos los números que hemos escrito antes (el 2 y el 3):

M.C.D.(24, 30) = 2 · 3

y el resultado que nos da, el 6 será  el Máximo Común Divisor de 24 y 30:

M.C.D.(24, 30) = 2 · 3 = 6

Por tanto, para hallar el Máximo Común Divisor de dos o más números , basta con multiplicar los más pequeños de sus factores comunes.

Otro ejemplo de Máximo Común Divisor

Ya hemos visto antes una forma de hallar el Máximo Común Divisor de 120 y 72, pero probemos a encontrarlo ahora con el nuevo método.

Descompones 120:

Por tanto, 120 es:

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

como el 2 se multiplica tres veces, podemos escribirlo como 2 al cubo:

120 = 23 · 3 · 5

También descomponemos el 72:

Así que 72 es:

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

que podemos expresar como 2 al cubo y 3 al cuadrado:

72 = 23 · 32

Ponemos las descomposiciones factoriales juntas:

120 = 23 · 3 · 5

72 = 23 · 32

y miramos que factores se repiten en ambos.

Vemos el 2 y el 3 en las dos multiplicaciones:

120 = 23 · 3 · 5

72 = 23 · 32

Pero el 5 no es común en ambas multiplicaciones, así que no lo consideramos.

Ahora de los grupos que se repiten (el grupo de los doses y el grupo de los treses) cogemos el más pequeño.

En el grupo de los doses, ambos son 2 al cubo, así que escribimos cualquiera:

M.C.D.(120, 72) = (23)

En el grupo de los treses, 3 es más pequeño que 3 al cuadrado, así que escribimos 3:

M.C.D.(120, 72) = (23 y 3)

23es 8 (porque es 2 por 2 son 4 y 4 por 2 son 8), así que podemos poner un 8 en lugar de 23:

M.C.D.(120, 72) = (8 y 3)

Multiplicamos los resultados y nos da 24:

M.C.D.(120, 72) = 8 · 3 = 24

Así que el Máximo Común Divisor de 120 y 72 es 24:

M.C.D.(120, 72) = 24

Máximo Común Divisor de más de dos números

Aunque hasta ahora hemos calculado el Máximo Común Divisor de sólo dos números, se puede realizar para más cantidades.

Por ejemplo: calcular el Máximo Común Divisor de 140, 126 y 154. Es decir, de los divisores que estos tres números tienen en común, cuál es el mayor.

Descomponemos los tres números. Empezamos por el 140:

y nos da que 140 es:

140 = 22 · 5 · 7

Descomponemos el 126:

y obtenemos que 126 es:

126 = 2 · 32 ·  7

Por último, descomponeos el 154:

por lo que 154 es:

154 = 2 · 7 ·  11

Ponemos las tres descomposiciones factoriales juntas:

140 = 22 · 5 · 7

126 = 2 · 32 ·  7

154 = 2 · 7 ·  11

y miramos qué factores se repiten.

El 2 se repite en las 3 descomposiciones:

140 = 22 · 5 · 7

126 = 2 · 32 ·  7

154 = 2 · 7 ·  11

El 3 sólo está en la segunda así que no es un divisor común.

El 5 tampoco porque sólo sale en la primera.

El 7 sí que sale en las 3 descomposiciones:

140 = 22 · 5 · 7

126 = 2 · 32 ·  7

154 = 2 · 7 ·  11

así que lo señalamos como divisor común. Pero es porque sale en todas, si sólo saliera el 7 en dos de las tres descomposiciones, no lo marcaríamos porque NO sería un divisor común de los tres números, sino sólo de dos de ellos.

El 11 sólo sale en una así que no lo cogemos.

De momento sabemos que sólo hay dos grupos de números que se repiten en las tres descomposiciones: el grupo de los doses y el grupo de los sietes.

Ahora cogemos el representante más pequeño de cada grupo.

De los doses es el 2 (el más grande de aquí sería 22, pero queremos el más pequeño, no el más grande) y de los sietes, el 7(porque  todos son iguales. Ninguno está elevado a una potencia).

Así que tenemos que en la descomposición de los tres números participan el 2 y el 7:

M.C.D.(140, 126, 154) = (2 y 7)

Los multiplicamos y nos da 14:

M.C.D.(140, 126, 154) = 2 · 7 = 14

Por tanto, el Máximo Común Divisor de 140,126 y 154 es 14.

M.C.D.(140, 126, 154) = 14

¿Y si no coincide ningún número en la descomposición?

Hay que considerar un caso especial que de vez en cuando sucede. Supongamos que queremos calcular el Máximo Común Divisor de 10 y 21.

Descompondríamos el 10 en factores primos y nos daría que 10 es:

10 = 2 · 5

luego descomponemos 21 y nos da que es igual a:

21 = 3 · 7

Ahora toca comparar los factores primos:

10 = 2 · 5

21 = 3 · 7

No tardaremos en darnos cuenta que no hay ningún divisor en común. El 2 y el 5 sólo salen en la primera multiplicación, y el 3 y el 7 sólo salen en la segunda. Esto significa que el 10 y el 21 no tienen ningún divisor primo en común.

¿Entonces cuál es el Máximo Común Divisor de 10 y 21?

Pues el único divisor que tienen todos los números, y que, además, como hemos visto, no es un número primo: el 1.

Por tanto:

M.C.D. (10, 21) = 1

Eso significa que no se puede dividir una clase de 10 alumnos y otra de 21 alumnos en grupos iguales de más de 1 alumno en las dos clases. Prueba tú mismo a ver si puedes encontrar otra posibilidad.

Así que, cuando los números que estudiemos no tengan ningún factor en común, su Máximo Común Divisor será siempre 1

Resumiendo

  • El máximo común divisor de varias cantidades sirve para encontrar el mayor número que puede dividir de forma exacta a todas esas cantidades.
  • La forma más rápida y segura de calcularlos es realizar la descomposición factorial de esas cantidades y luego multiplicar los representantes más pequeños de los factores que tienen en común.

Ejercicios y problemas de Máximo Común Divisor

Aquí encontrarás ejercicios y problemas para practicar las propiedades de la división.