En el artículo de hoy veremos qué es y cómo calcular el Mínimo Común Múltiplo de 2 o más números.

Puedes ver el contenido del artículo también en el  vídeo de aquí abajo. No olvides que también encontrarás ejercicios  y problemas  de Mínimo Común Múltiplo al final del artículo para que entrenes y lo entiendas mejor.

¿Te apetece un perrito caliente?

Me voy al supermercado y me compro unos panecillos. Mira un paquete con 6 panecillos Me lo llevo.

¡Ah! y ahí están las salchichas. En paquetes de 8 salchichas. Muy bien.

¡Un momento! ¿Qué incoherencia es esta? Si los panecillos vienen en paquetes de 6 y las salchichas en paquetes de 8, podré hacerme 6 perritos calientes pero me sobrarán 2 salchichas, ¡qué desperdicio!

Cómo emparejar perritos y panecillos

Podría comprar dos bolsas de panecillos (6 y 6, tendría 12 panecillos), y así tendría panecillos suficientes para las 8 salchihas. Pero claro, se echarían a perder 4 panecillos.

¿Qué podría hacer? ¿Cuántas bolsas de panecillos y de salchichas tendría que comprar para que no se desperdicie nada?

Veamos:

  • si compro una bolsa de panecillos tendré 6 panecillos.
  • con dos bolsas tendré 12 panecillos.
  • con tres, 18 panecillos.
  • con cuatro, 24 panecillos.
  • con cinco, 30 panecillos.
  • etc.

Es decir, tendré múltiplos de 6 panecillos.

En cuanto a las salchichas:

  • con una bolsa tendré 8 salchichas.
  • con dos bolsas, 16 salchichas.
  • con tres bolsas, 24 salchichas.
  • etc.

Es decir, habrá múltiplos de 8 salchichas.

A ver, ¿cuáles de estos múltiplos coinciden? Podría comprar exactamente 24 panecillos y exactamente 24 salchichas, así no me sobraría nada.

También podría comprar exactamente 48 panecillos y 48 salchichas (el 48 es múltiplo de 6 y también de 8) así tampoco me sobraría nada.

Seguro que podría encontrar más coincidencias si siguiera con las listas de múltiplos, como por ejemplo: 72, 96, 120, 144, etc.

De estos múltiplos comunes, me quedaré con el más pequeño, porque tampoco quiero gastarme todos mis ahorros en perritos calientes. Es decir, con el 24.

Por tanto, el 24 es el número mínimo de panecillos y salchichas que tengo que comprar para que no me sobre nada.

O como lo dicen los matemáticos: el Mínimo Común Múltiplo de 6 y 8 es 24.

O escrito de forma abreviada:

M.C.M.(6, 8) = 24

Para calcular el Mínimo Común Múltiplo de cualquier grupo de números podemos seguir este mismo sistema, no obstante, calcular todos los múltiplos de los números (sobre todo si son números grandes) da mucho trabajo y es fácil que nos equivoquemos de alguna forma.

Existe otro método para encontrar el Mínimo Común Múltiplo basado en la descomposición factorial que vimos en este artículo.

Mínimo Común Múltiplo. El método

Supongamos que queremos calcular el Mínimo Común Múltiplo de 15 y 18 (por ejemplo, porque en el supermercado hay ofertas familiares y sólo encuentras paquetes de 15 panecillos y de 18 salchichas).

Descomponemos factorialmente el 15:

Como vemos, el 15 es:

15 = 3 · 5

Ahora descomponemos el 18:

Entonces 18:

18 = 2 · 3 · 3

Como vimos el artículo sobre potencias, el 3 por 3 se puede expresar como 3 al cuadrado, así que 18 también es:

18 = 2 · 32

Ahora ponemos los dos resultados juntos para compararlos:

15 = 3 · 5

18 = 2 · 32

Hacemos grupos con los números iguales (sin considerar si tienen exponente o no) que hay en las multiplicaciones.

El primer grupo es el de los doses. Sólo hay un 2 y está en la multiplicación del 18.

15 = 3 · 5

18 = 2 · 32

El segundo grupo es el de los treses. Aquí hay dos treses. Uno sin exponente en la multiplicación del 15 y otro elevado al cuadrado en la del 18:

15 = 3 · 5

18 = 2 · 32

El tercer y último grupo es el de los cincos, de los cuales también hay sólo uno:

15 = 3 · 5

18 = 2 · 32

De cada grupo cogemos el valor más grande.

  • Del grupo de los doses, como solo hay uno, la elección es fácil: cogemos el 2.
  • Del grupo de los treses, cogemos el mayor, es decir, 3 al cuadrado.
  • Y del grupo 5, simplemente el único que hay: un 5.

Así que en la búsqueda del Mínimo Común Múltiplo de 15 y 18 participan el 2, el 32 y el 5:

M.C.M.(15, 18) = (2, 32, 5)

Para no dejarlo en forma de potencias, calculamos el 3 al cuadrado, que es 9 (porque 3 por 3 son 9). El 2 y el 5 quedan igual:

M.C.M.(15, 18) = (2, 9, 5)

Sólo queda multiplicar estos números:

M.C.M.(15, 18) = 2 · 9 · 5

y nos da 90:

M.C.M.(15, 18) = 2 · 9 · 5 = 90

El Mínimo Común Múltiplo de 15 y 18 es 90 (habría que comprar 90 panecillos y 90 salchichas, ¡ya puedes invitar a tus amigos o reventar!):

M.C.M.(15, 18) = 90

En conclusión, para calcular el Mínimo Común Múltiplo de varios números, se descomponen y se toman los factores, comunes o no, más grandes y se multiplican.

Mínimo Común Múltiplo de más de dos números

El Mínimo Común Múltiplo no tiene por qué limitarse a dos números, pueden ser más. Por ejemplo, el  12, 15 y el 27.

M.C.M.(12, 15, 27) = ?

El proceso es el mismo. Se descomponen cada número.

Empezamos por el 12:

Nos da que 12 es:

12 = 22 · 3

Descomponemos el 15, aunque como ya lo hicimos en el ejemplo anterior, sabemos que da:

15 = 3 · 5

Finalmente descomponemos factorialmente el 27:

Vemos que 27 es:

27 = 33

Ponemos las descomposiciones de los tres números juntas:

12 = 22 · 3

15 = 3 · 5

27 = 33

y agrupamos los resultados por factores.

Primero agrupamos los doses:

12 = 22 · 3

15 = 3 · 5

27 = 33

sólo hay uno, el 22

Luego los treses:

12 = 22 · 3

15 = 3 · 5

27 = 33

De estos hay tres: dos son 3 sin exponente, y uno es 33.

Y finalmente los cincos:

12 = 22 · 3

15 = 3 · 5

27 = 33

De los cuales sólo hay uno y sin exponente.

Ya no quedan factores, comunes o no a todas las multiplicaciones, sin agrupar.

Ahora, de cada grupo cogemos el valor más grande.

  • De los doses, tomamos el 22. Éste era fácil porque sólo hay uno que elegir.
  • De los treses, el 33.
  • Y de los cincos, el 5 (porque no hay más).

Recordemos que 22 es 4; 33 es 27; y 5 es 5.

Los multiplicamos y nos da 540:

4 · 27 · 5 = 540

Por tanto, el Mínimo Común Múltiplo de 12,15 y 27 es 540.

M.C.M.(12, 15, 27) = 540

Resumiendo:

  • El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el más pequeño de los múltiplos que tienen en común.
  • Para calcular hay que multiplicar los factores (tanto los que salen en todas las descomposiciones como los que no) más grandes.

Ejercicios y problemas de Mínimo Común Múltiplo

Aquí puedes realizar algunos ejercicios y problemas de Mínimo Común Múltiplo.