En el artículo de hoy veremos cómo calcular una multiplicación de números enteros.

Puedes ver el contenido del artículo también en el  vídeo de aquí abajo. No olvides que también encontrarás ejercicios  y problemas  de Multiplicación de números enteros al final del artículo para que entrenes y lo entiendas mejor.

Estrenando coche nuevo

Como hemos aprobado el curso sacando todo dieces, nos han regalado este bonito coche.

Al principio estamos parados en el kilómetro 0 y no llevamos conduciendo ni un segundo.

Así que arrancamos para dirigirnos al norte, es decir, al lado positivo. Y lo hacemos a una velocidad bajita para no estropearlo el día del estreno. Pongamos que de +10km/h. Le añadimos el + para indicar que vamos a esa velocidad (10km/h) hacia el norte o lado positivo.

Al cabo de una hora, habremos recorrido 10 km hacia el lado positivo, es decir, estaremos en el punto +10km.

Y al cabo de 2 horas, habremos recorrido 10 km hacia el lado positivo, estaremos en el punto +20km.

Siguiendo esta lógica es fácil ver que en 3 horas estaremos en +30km, en 4 horas en +40km y así. El cálculo es muy sencillo, sólo hay que multiplicar la velocidad por el tiempo y nos dará la distancia recorrida.

Por ejemplo, si vamos a +10km/h durante +2 horas, acabaremos en el punto +20km.

¿Y si ya llevábamos un rato paseando?

Ahora pensemos que antes no arrancamos en el punto 0km, sino que cuando pasamos por ahí ya hacía rato que conducíamos a +10km/h.

Entonces, ¿en qué punto estábamos hace una hora? Pues si vamos hacia la derecha (es decir, el lado positivo) a 10km/h, hace una hora tendríamos que estar más a la izquierda (es decir, más hacia el lado negativo). ¿Cuánto?

Pues 10km hacia el lado negativo. O lo que es lo mismo, en el punto –10km.

Así en una hora, puede recorrer 10km hacia la derecha hasta quedar en el punto 0 km.

¿Y dónde estaba hace dos horas?

Pues en el punto –20km, así en dos horas circulando a +10km/h llegará al punto 0 km, que es donde empezamos.

Por tanto, sabemos que si un coche va a +10km/h, hace dos horas (que lo representamos con un –2h) estaba en el punto –20km.

Más difícil todavía: ¡vayamos al revés!

Una vez tenemos claro esto, hagamos un pequeño cambio. El coche seguirá circulando a 10km/h, pero esta vez lo hará marcha atrás. Es decir, en vez de ir a una velocidad de 10Km/h hacia el lado positivo,irá a 10km/h pero hacia el lado negativo, es decir, a –10km/h.

Si hacemos esto, ¿dónde estaremos dentro de una hora?

Pues al ir macha atrás, estaremos en el punto –10km.

¿Y dentro de 2 horas?

Pues 10 km más hacia el lado negativo, es decir, en el punto –20km.

Por tanto, si vamos a una velocidad de 10km/h hacia el lado negativo (es decir, –10km/h), durante 2 horas, acabaremos en el punto –20km.

Para acabar: ¡todo al contrario!

Lo único que queda por preguntarnos es, si todo el rato vamos marcha atrás a –10km/h, ¿dónde estábamos hace una hora?

Pues si estamos yendo hacia el lado negativo, significa que veníamos del lado positivo.

Hace una hora teníamos que estar 10 km más hacia el lado positivo. Así, en una hora marcha atrás, acabaríamos donde empezamos a contar el tiempo, en el kilómetro 0.

¿Y dónde estábamos hace 2 horas?

Pues en el punto +20km. Así en 2 horas circulando a –10km/h acabaría en el kilómetro 0.

Por tanto, si vamos a una velocidad de –10km/h (es decir, marcha atrás), hace dos horas (es decir, en el tiempo –2 horas), estábamos en el punto +20 km.

¡Quiero aprender a multiplicar, no a conducir!

Si nos fijamos en las operaciones que hemos estado haciendo, son todo multiplicaciones. Y multiplicaciones muy parecidas.

De hecho, si quitamos los signos, es todo el rato la misma multiplicación: 10 por 2 que nos da 20. Esto significa que cuando multipliquemos números enteros, los números en sí mismos (sin signos) se multiplicarán exactamente igual que los números naturales. Lo único que puede cambiar es el signo que le pondremos al resultado. Por lo que la multiplicación en sí es bastante fácil pero ¿cómo sabemos qué signo ponerle?

Bien, si nos fijamos en los signos de nuevo:

  • Cuando multiplicamos dos números positivos el resultado es positivo (como ya sabíamos, pues los números naturales son los enteros positivos).
  • Si multiplicamos un positivo por un negativo, el resultado es negativo.
  • Si multiplicamos un negativo por un positivo, el resultado también es negativo.
  • Y lo que puede parecer más extraño (antes de ver el ejemplo del coche), si multiplicamos dos números negativos, el resultado es positivo.

Estos son los cuatro casos que nos podemos encontrar al multiplicar números enteros.

Ejemplo de multiplicación de números enteros

Si queremos realizar cualquier multiplicación, como, por ejemplo, ésta:

(+3) · (–4) = ?

Lo primero que hay que hacer es olvidarse de los signos y mirar sólo los números:

3 · 4 = ?

Ahora se resuelve la operación, es decir, como si fueran números naturales: 3 por 4 son 12:

3 · 4 = 12

Una vez nos hemos encargado de los números, nos fijamos en los signos.

(+3) · (4) = ?

Un signo + por un signo –. Para saber qué hacer con ellos, recordemos la tabla que dedujimos con el coche. En ella buscamos el caso que queremos resolver, es decir, + por –.

Y vemos que el resultado es:  –.  Así que a nuestro resultado, al 12, le ponemos el signo –.

(+3) · (–4) = –12

Ahora ya sabemos que +3 por –4 da –12.

Un truco para simplificarlo aún más

Entonces, ¿esto significa que tenemos que aprendernos la tabla de signos de memoria? Podríamos hacerlo, pero hay una forma más cómoda de conocer el signo del resultado.  Si nos fijamos, cuando los signos que se multiplican son iguales, da igual si los dos son positivos o si los dos son negativos el resultado es positivo.

Por tanto, cuando veamos dos números del mismo signo que se multiplican (ya sean positivos o negativos), el resultado tendrá signo positivo.

Y si los dos números tienen signos diferentes, ya se + por – o – por +, da siempre de resultado, el signo –.

Por tanto, lo único que tenemos que recordar, es que multiplicar signos iguales nos dará resultado positivo y multiplicar signos distintos nos da resultado negativo.

Resumiendo

Para multiplicar números enteros, primero se multiplican los números sin fijarnos en los signos.

Después miramos si los signos de los números que se multiplican son iguales o no. Si lo son (ya sea + por + o – por –), el resultado será positivo, y sino, el resultado será negativo.

Ejercicios y problemas de Multiplicación de números enteros

Ahora que ya sabes lo sencillo que es multiplicar números enteros (mucho más que sumarlos o restarlos), puedes practicar un poco con estos ejercicios y problemas.