En artículos anteriores hemos visto cómo tratar con muchos tipos de operaciones: Sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces cuadradas.

No obstante, estas operaciones no tienen por qué estar aisladas. De hecho, lo más normal es que estén juntas. Es decir, combinadas. En este artículo (y en el vídeo de abajo) veremos cómo operar en esos casos ya que el orden importa. ¡Y mucho!

Recuerda que al final del artículo encontrarás ejercicios resueltos paso a paso para que acabes de afianzar tus conocimientos.

El peligro de las operaciones combinadas

Podríamos encontrarnos todas las operaciones mezcladas, como por ejemplo esto:

[√64 + (92 – 30 · 3)2] : 6 = ?

No tiene por qué ser tan complicado, pueden ser combinaciones más sencillas, pero podemos encontrarnos de todo en la viña del señor… Diofanto.

Hay que tener mucho cuidado con cómo lo resolvemos porque según cómo lo hagamos nos pueden dar muchos resultados erróneos.  Y nos estallará en la cara.

La clave para resolver operaciones combinadas

A la hora de resolver operaciones combinadas es muy importante el orden en que lo hacemos, porque pueden salir resultados muy distintos.

Por ejemplo, si queremos resolver:

2 + 3 · 5 =

podemos intentarlo de dos formas. En la primera forma hacemos primero la suma (que da 5) y luego lo multiplicamos por 5 (que da 25):

2 + 3 · 5 = 5 · 5 = 25

De la segunda forma, hacemos primero la multiplicación (que da 15) y luego la suma (que da 17):

2 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

Como vemos son resultados diferentes, así que una de las formas está mal. ¿Cuál?

No olvides que  resolver operaciones combinadas es como desactivar bombas. Es un proceso mecánico muy sencillo, pero con resultados catastróficos si nos saltamos algún paso.

Instrucciones para desactivar una bomba (en forma de operaciones combinadas)

Primero, hay que resolver las operaciones que estén dentro de un paréntesis. Siempre.  

A veces encontraremos paréntesis dentro de otros paréntesis. En ese caso empezaremos por el que esté más en el interior, y así los vamos resolviendo hasta el que esté en el exterior.

recuerda que los paréntesis:

( )

son equivalentes a los claudators:

[ ]

y a las llaves:

{ }

Todos significan lo mismo y podemos usar lo que queramos indistintamente. Normalmente se suelen usar si hay varios paréntesis, para distinguirlos entre sí. Se suele entender mejor esto:

7 + {[(2 + 4)2] : 3} · 5 =

Que esto:

7 + (((2 + 4)2) : 3) · 5 =

Pero su función es la misma.

Segundo. Calculamos el valor de las potencias y de las raíces.

Tercero. Calculamos todas las multiplicaciones y divisiones.

Lo adecuado es resolverlos en el orden en que aparecen (de izquierda a derecha) pero a veces es menos trabajoso hacerlo en otro orden (siempre que no altere el resultado final).

Cuarto y último. Calculamos todas las sumas y restas.

Aquí, aunque a veces no afectará, es recomendable resolverlas siempre de izquierda a derecha, porque no siempre dará el mismo resultado si cambiamos el orden.

Si sigues estas normas en este orden, no tendrás ningún problema para desactivar las operaciones combinadas. Eso sí, los matemáticos, no le llaman instrucciones de desactivación. Como trata de operaciones, y del orden en que tienen que ir, se le suele llamar Jerarquía de operaciones.

Ejemplo de operación combinada

Si tenemos:

(5 + 2) · 3 =

Sabemos que es una operación combinada porque tiene más de una operación diferente. En este caso una suma y una multiplicación.

Antes de resolverla, recordemos cuál es el orden de prioridades:

La primera instrucción es resolver las operaciones del interior del paréntesis, en este caso una suma:

(5 + 2) · 3 =

5 más 2 son 7. Cuando se han resuelto todas las operaciones implicadas en un paréntesis, ya lo podemos quitar:

7 · 3 =

La siguiente instrucción es calcular las potencias y raíces, pero como no hay nada de eso pasamos a la siguiente instrucción.

La tercera instrucción es resolver las multiplicaciones y divisiones, así que calculamos 7 por 3, que son 21:

7 · 3 = 21

Cómo ya hemos desactivado la bomba, quiero decir, resuelto las operaciones, no hace falta seguir con la 4ª instrucción.

Otro ejemplo de operación combinada

Para resolver la siguiente bomba:

((15 – 3) : 4 + 1) · 2 =

como todas, tenemos que seguir las instrucciones por orden.

Primero resolver los paréntesis. En este caso tenemos 2 pares, para diferenciarlos uno los ponemos con forma de claudators y otro con forma de paréntesis:

[(15 – 3) : 4 + 1] · 2 =

Vemos que los paréntesis están dentro de los claudators.

[(15 – 3) : 4 + 1] · 2 =

Recordemos que la primera instrucción nos dice que hay que resolver primero el más interior. De hecho no podemos resolver el exterior sin resolver el interior porque está incluido dentro. Así que nos centramos en el paréntesis más interior que contiene una resta: 15 menos 3.

Al resolverla nos da 12:

[(12) : 4 + 1] · 2 =

Ahora ya no tenemos el paréntesis interior, pero nos queda resolver el claudator:

[(12) : 4 + 1] · 2 =

Dentro encontramos dos operaciones: una división y una suma. Si nos fijamos en las instrucciones, vemos que la división tiene que resolverse antes que la resta.

Así que resolvemos la división. 12 entre 4 es 3:

[3 + 1] · 2 =

Ahora, dentro del claudator sólo queda la suma, que da 4:

4 · 2 =

Por último, sólo nos queda una multiplicación, que da 8, y ya hemos resuelto con éxito otra operación combinada:

4 · 2 = 8

Última ejemplo de operación combinada

Para la tercera y última bomba, tendremos también presentes la jerarquía de operaciones.

[√64 + (92 – 30 · 3)2] : 6 =

Resolveremos la operación combinada que vimos al principio como ejemplo para que veas que tampoco es para tanto.

Empezamos mirando los paréntesis. Resolveremos el más interior:

[√64 + (92 – 30 · 3)2] : 6 =

Dentro hay una resta y una multiplicación. El paréntesis está elevado al cuadrado, pero como el exponente no está dentro del paréntesis, no tiene prioridad. Hay que centrarse en las operaciones del interior. Siguiendo la jerarquía de operaciones, tiene prioridad la multiplicación. 30 por 3 son 90:

[√64 + (92 – 90)2] : 6 =

Ahora dentro del paréntesis solo queda la resta. La resolvemos y da 2:

[√64 + (2)2] : 6 =

Ya hemos resuelto el paréntesis, pero aún nos queda el interior del paréntesis exterior (el claudator), que ahora contiene una raíz cuadrada y una potencia:

[64 + (2)2] : 6 =

La raíz cuadrada de 64 es 8 (porque 8 por 8 es 64):

[8 + (2)2] : 6 =

Y el 2 al cuadrado es 4:

[8 + 4] : 6 =

Ahora dentro del claudator sólo nos queda una suma, que da 12:

[12] : 6 =

Por último, sólo nos queda una división. 12 entre 6 da 2.

[12] : 6 = 2

Ya hemos desactivado la última bomba y no ha sido tan difícil como pensábamos al principio del artículo.

Resumiendo:

Para resolver operaciones combinadas es muy importante resolver cada operación en el orden adecuado:

  • Primero se resuelven los paréntesis empezando por los más interiores.
  • Después se calculan las raíces y las potencias.
  • Se realizan las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
  • Se resuelven las sumas y restas (de izquierda a derecha).

Ejercicios con raíces cuadradas

Es tu turno de desactivar unas cuantas operaciones combinadas con estos ejercicios.