¿Cuáles son las propiedades de la división? Las veremos detalladas en el vídeo de hoy. O si lo prefieres, puedes leer un resumen de lo más importante en el texto bajo el vídeo.

No olvides que al final encontrarás ejercicios y problemas corregidos para que practiques.

¿Qué es dividir?

Dividir es repartir en partes iguales.

6 vacas pastan tranquilamente. Si se cruzan con 3 leones hambrientos, tocan a 2 vacas para cada uno.

La división se puede escribir de muchas formas:

  • con el símbolo de los dos puntos: 6 : 2 = 3
  • con una barra inclinada: 6 / 3 = 2
  • con una mezcla de los puntos y la barra: 6 ÷ 2 = 3

En cualquier caso, la división es la operación inversa a la multiplicación, porque 2 x 3 = 6.

Las divisiones de números más grandes, conllevan una serie de operaciones para encontrar su resultado. Si necesitas repasar los pasos para realizar una división echa un vistazo aquí.

Las parte de una división

Todas las divisiones, como por ejemplo: 7 : 2 = 3 (y sobra 1), tienen cuatro partes:

  • El número que queremos repartir se llama dividendo (en el ejemplo es el 7).
  • El número de partes en que queremos repartirlo se llama divisor (en el ejemplo es el 2).
  • El resultado, es decir, cuanto toca por cada parte en que lo hemos dividido, es el cociente (en el ejemplo es el 3).
  • Y lo que sobra, se le llama resto (sí, lo has adivinado, en el ejemplo es el 1.

Tipos de división

Una división es exacta si se pueden repartir todos los elementos de forma equitativa sin que sobre ninguno: si hay 4 vacas y 2 leones, le tocan 2 vacas a cada león exactamente.

Pero si hay 3 vacas, a cada león le toca 1 vaca y sobra otra vaca (que sale huyendo). Como sobra una vaca, no es una división exacta.

Las divisiones exactas se identifican fácilmente porque el resto vale 0.

En cambio, cuando la división no es exacta, el resto nunca vale 0.

Propiedades de la división

Como sabes que la multiplicación, entre otras, tiene la propiedad conmutativa y asociativa (si no lo recuerdas revisa esta entrada). ¿Qué ocurre con la división?

Repartir 6€ entre 3 personas, no es lo mismo que repartir 3€ entre 6 personas (6:3 ≠ 3:6), por tanto, la división no tienen la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los elementos de la división no se puede intercambiar.

¿Qué ocurre con la propiedad asociativa? Si tenemos dos divisiones seguidas como:

8 : 4 : 2

no es lo mismo resolver primero la división de la izquierda:

(8 : 4) : 2

Que da 2 y nos queda:

2 : 2

Y esta división da 1.

Si resolvemos primero la división de la derecha:

8 : (4 : 2)

Nos queda:

8 : 4

Y esta división da 2.

Como ves dan dos resultados diferentes (en el primer caso el resultado es 1 y en el segundo caso da 2), por tanto la división tampoco tiene la propiedad asociativa.

El elemento neutro de la división

Por qué número podemos dividir cualquier cantidad sin alterarla:

5 : ? = 5

Pues 1. Por tanto, el elemento neutro de la división es el 1.

Criterios de divisibilidad

Muchas veces, antes de iniciar una división larga nos es útil saber si un número es divisible de forma exacta por otro. ¿Cómo podemos saberlo antes de empezar la división? Bien, pues hay algunos trucos. Lo que pasa es que los matemáticos no les llaman trucos, les llaman criterios de divisibilidad, que queda más profesional.

Por ejemplo: ¿cómo sabemos que un número se puede dividir de forma exacta por 2?

Si nos fijamos cuando multiplicamos cualquier número por 2, es decir, los múltiplos de 2, el resultado es siempre par.

Todos los números pares serán divisibles por 2.

Criterios de divisibilidad del 3

¿Cómo sabemos si un número es divisible por 3?

Pues sumamos las cifras que lo componen y vemos si el resultado es divisible por 3.

Por ejemplo, 123, sumamos sus cifras, 1 + 2 + 3 y nos da 6. Como el 6 es divisible de forma exacta por 3, el 123, también lo será (123 entre 3 nos daría exactamente 41).

Otro ejemplo, 216. Sumamos sus cifras y da 9. El nueve es un múltiplo de 3 (es decir, que se puede dividir de forma exacta por 3), por tanto el 216 también es divisible por 3 (nos daría exactamente 72).

Veamos ahora el 468, al sumar sus cifras nos da 18, que es un número divisible por 3. Ahora bien, si no viéramos que es divisible por 3 (o porque nos hubiera dado un número muy grande) podemos volver a sumar sus cifras. 1 + 8 son 9. Como 9 es divisible por 3, el 18 también. Y como sabemos que 18 es divisible por 3, el 468 también tiene que serlo. Siempre podemos ir sumando las cifras de los resultados hasta que obtengamos un número que veamos claramente si es o no divisible por 3.

Por último, si probamos con 281, nos da 2 + 8 + 1 = 11. El 11 no es divisible de forma exacta por 3, así que 281 tampoco lo será. Podemos evitar empezar el cálculo.

Criterios de divisibilidad del 5 y del 10

Todos los múltiplos de 5 acaban en 0 ó 5.

Si un número acaba en 0 o en 5 será divisible de forma exacta por 5.

¿Cómo sabemos si es divisible por 10?

Todos los múltiplos de 10 acaban en 0.

Si un número acaba en 0 será divisible de forma exacta por 10.

Criterios de divisibilidad del 11

Si la diferencia entre las cifras que ocupan un lugar par y las que ocupan un lugar impar es 0 o divisible por 11.

Por ejemplo, el 143. Sumamos las cifras en lugares pares, es decir, las que están en 2º lugar, 4º, 6º, etc. En este caso, como sólo hay 3 cifras, contamos sólo el 2º lugar: es decir el 4.

Luego las cifras en lugares impares, es decir, las que estén en 1er lugar, 3º, 5º, etc. En este caso 1 y 3, que suman 4.

Restamos los dos resultados: 4 – 4 y nos da 0. Por tanto el 143 es divisible entre 11 (daría 13)

En el 1.078, sumamos los que están en 2º y 4º lugar, es decir, el 0 y el 8 que da 8. Y luego restamos lo que nos de la suma de los que están en 1er y 3er lugar, es decir 1 y 7, que da 8. En este caso los dos dan 8, así que da igual, sino restaríamos siempre el resultado mayor menos el resultado menor. Aquí da igual. Nos da 0, por lo que 1078 es divisible por 11.

Si hacemos lo mismo para 7.172, nos da la suma de pares el 3 y la de impares el 14. No podemos restar 3 – 14, así que simplemente lo cambiamos de orden. Para este truco no afecta el orden. Ponemos 14 – 3 = 11. Como el 11 es divisible por 11, el 7.172 también es divisible por 11.

Si probamos con el 3.841, nos da 9 –7 que son 2. Como el 2 no es 0 ni divisible por 11, el 3.841 tampoco es divisible por 11.

Resumiendo:

Propiedades:

  • La división NO tiene propiedad conmutativa.
  • La división NO tiene propiedad asociativa.
  • El elemento neutro de la división es el 1.

Criterios de divisibilidad:

  • Todos los números pares son divisibles entre 2.
  • Un número es divisible entre 3 si el resultado de sumar sus cifras es divisible entre 3.
  • Los números divisibles entre 5 acaban en 0 o en 5.
  • Los números divisibles entre 10 acaban en 0.
  • Un número es divisible entre 11 si la diferencia entre las cifras que ocupan un lugar par y las que ocupan un lugar impar es 0 o divisible por 11.

Ejercicios con las propiedades de la división

Aquí encontrarás ejercicios y problemas para practicar las propiedades de la división.