En el vídeo de hoy veremos las principales propiedades de la multiplicación.

Puedes leer un resumen de los puntos más importantes del vídeo justo debajo y también encontrarás ejercicios y problemas corregidos para que practiques.

Ventajas de la multiplicación

Si tenemos una pareja de caritas sonrientes:

☺☺

es fácil contar que son dos, pero si se traen a unos colegas…

☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺

Podemos contarlas de uno en uno, o aprovechado que vienen en parejas, de dos en dos:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Vamos resolviendo las sumas:

2 + 2 = 4; 4 + 2 = 6; 6 + 2 = 8… 16 + 2 = 18

Como hay 9 parejas de caritas sonrientes, hemos tenido que sumar el 2 nueve veces.

Y ha habido suerte, porque si las caritas felices del mundo se hubieran animado y hubieran venido 300 parejas, habríamos tenido que sumar el dos 300 veces.

Como a los matemáticos no les gusta tener que trabajar tanto, inventaron una operación que les ahorrara esfuerzo cuando los números que se suman, es decir, lo sumandos son todos iguales.

A esa operación la llamaron multiplicación.

Cómo multiplicar

Para llevarla a cabo primero escribimos el número que sumamos repetidamente (2), luego el signo de multiplicar (x),  seguido de la cantidad de veces que hay que sumar el número (9) y, finalmente, obtenemos el resultado (18):

2 x 9 = 18

Por tanto, podemos decir que multiplicar es sumar muy rápido (aunque no debemos olvidar que sólo se puede usar cuando se está sumando siempre el mismo número).

Conocemos cuál será el resultado gracias a las tablas de multiplicar que aprendiste de pequeño.

tablas de multiplicar

Basándonos en estas tablas podemos realizar multiplicaciones con números mucho más grandes. Si necesitas repasar cómo multiplicar, echa un vistazo a esta entrada.

Los símbolos de la multiplicación

Hasta ahora habrás usado muchas veces la cruz (x) como símbolo de la multiplicación, pero debes saber, que también existe otro símbolo para indicar una multiplicación: se trata de un puntito (·).

Este puntito, que significa exactamente lo mismo que la cruz, se usa mucho porque es más rápido de escribir. Al principio cuesta un poco acostumbrarse, pero ya verás que en seguida le encontrarás las ventajas. Mientras, usaremos los dos símbolos indistintamente.

Ahora que tenemos esto claro, veamos qué propiedades cumple la multiplicación.

¿La multiplicación tiene la propiedad conmutativa?

Recordemos que, como vimos cuando explicamos las propiedades de la suma, conmutar significa intercambiar.

Es decir, que si intercambiamos el orden de los números que se multiplican (los factores), el resultado es el mismo. Veamos un ejemplo:

6 x 7 = 42

Por otro lado,

7 x 6 = 42

El resultado es el mismo sin importar si colocamos primero el 6 o el 7.

Como puedes comprobar, esto se cumple para cualquier multiplicación, así que podemos afirmar que la multiplicación cumple la propiedad conmutativa.

¿La multiplicación tiene la propiedad asociativa?

Recordemos que asociar es agrupar.

Lo que significa que si tenemos varias operaciones de multiplicación seguidas como estas:

5 x 4 x 3

podemos elegir calcular primero el grupo del 5 x 4, o el grupo del 4 x 3.

En el primer caso:

5 x 4 = 20

y luego:

20 x 3 = 60

En el segundo caso:

4 x 3 = 12

y luego:

5 x 12 = 60

Da igual por qué grupo comencemos a calcular, el resultado será siempre el mismo. La multiplicación cumple la propiedad asociativa.

¿Y cuál será el elemento neutro de la multiplicación?

Recuerda que el elemento neutro es aquel número que, al ponerlo en la operación, no afecta al resultado.

¿Qué número multiplicado por 4 nos sigue dando 4?

4 x ? = 4

Efectivamente el 1.

4 x 1 = 4

Cualquier número multiplicado por 1 nos da siempre el mismo número:

7 x 1 = 7

1.000 x 1 = 1.000

3’141592 x 1 =3’141592

Por tanto el elemento neutro de la multiplicación es el 1.

Una propiedad nueva para la multiplicación: la propiedad distributiva

Y por último (pero no por ello menos importante) una propiedad nueva: La distribución respecto a la suma. Sí, tiene un nombre muy largo pero en el futuro nos será de mucha utilidad.

Lo que nos dice esta propiedad, es que si un número multiplica a una suma, podemos resolver la operación de varias formas. Por ejemplo, si tenemos al número 4 multiplicando a la suma: 3+5

4 x (3 + 5)

podemos elegir varias formas de afrontar el cálculo.

La primera, que es la que usaremos habitualmente cuando tengamos que escribir la operación, consiste en resolver primero el contenido del paréntesis (es decir, la suma):

3 + 5

que nos da 8, y luego multiplicar el 4 por ese resultado:

4 x 8 = 32

La segunda opción es un poco más larga y es la que da nombre a la propiedad.

Distribuir significa repartir. Es decir, repartiremos la multiplicación por todos los miembros de la suma.

Primero multiplicamos 4 por el primer número de la suma:

4 x 3

Luego indicamos el signo de suma:

4 x 3 +

Y, finalmente, multiplicamos 4 por el segundo número de la suma.

4 x 3 + 4 x 5

Ahora resolvemos las dos multiplicaciones. 4 por 3 son 12  y 4 por 5 son 20. Nos queda:

12 + 20

Realizamos la suma de los 2 resultados y nos da 32 .

12 + 20 = 32

Como vemos, da lo mismo que en la primera opción, por tanto la multiplicación tiene la propiedad distributiva (en este caso respecto a la suma, que es la operación que había en el paréntesis. Si dentro de la suma hubiese habido una resta, sería distributiva respecto a la resta).

¿Pero por qué íbamos a querer usar la segunda opción, esta propiedad distributiva, si es más larga?

Usos de la propiedad distributiva

Por ejemplo: el cálculo mental.

Multiplicar 5 por 37 en una hoja de papel no es muy complicado, pero si queremos hacerlo de cabeza cuesta un poco más. Una estrategia muy útil, sobre todo cuando se tiene un poco de práctica, es dividir uno de los factores en números más simples de multiplicar.

Por ejemplo, el 37 se puede expresar como 30 + 7. La multiplicación nos quedaría:

5 x (30 + 7)

Ahora podemos multiplicar el 30 y el 7 por separado. Sí, son dos multiplicaciones en lugar de 1, pero son más sencillas.

5x 30 son 150 (porque 5*3 son 15 y añadimos el 0), y 5 por 7 son 35. Ahora sólo queda sumar estos dos resultados:

150 + 35 = 185

Te aconsejo que uses este tipo de estrategias para el cálculo mental, facilitan mucho la vida y previene muchos errores al hacer operaciones.

Invirtiendo la propiedad distributiva

Recuerda que lo que hacemos con esta propiedad es repartir la multiplicación por todos los miembros de la suma.

2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8

Pero en el futuro, a veces nos será útil hacer el paso inverso.  Si tenemos una suma como la que nos ha dado en el ejemplo anterior: 6 + 8, tal vez nos interese transformarlo en una multiplicación y una suma más sencilla: 2 x (3 + 4).

A esto se le llama sacar factor común. Recuerda que factor es cualquier número que se multiplica. En este caso el factor (en común) es el 2, y decimos que es común, porque multiplica a todos los números del paréntesis.

Veremos la gran utilidad de sacar factor común en futuras entradas del blog

Resumiendo

La multiplicación tiene:

  • Propiedad conmutativa
  • Propiedad asociativa
  • Propiedad distributiva (respecto a la suma y respecto a la resta)

El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

Ejercicios con las propiedades de la multiplicación

Aquí tienes algunos ejercicios y algunos problemas para practicar las propiedades de la multiplicación.