En la entrada de hoy trataremos sobre las propiedades de las potencias.Puedes ver la explicación en el vídeo o  leer el resumen de lo más importante en el texto de abajo.

Recuerda que al final encontrarás ejercicios y problemas corregidos paso a paso.

¿Qué son las potencias?

¿Sabes el típico día que vas chutando piedras por la calle y te encuentras un diamante? Pues aunque te dé pereza puedes agacharte y recogerlo.  Así dentro de poco tendrás 3 diamantes.

Los 3 diamantes puedes meterlos en un saquito. Si sigues caminando por la misma calle varios días, pronto tendrás 3 saquitos con 3 diamantes cada uno:

3 x 3 diamantes

Si mantienes esa costumbre, cuando tengas 3 saquitos los puedes poner en una bolsa. Mientras piensas en qué te vas a gastar tanto dinero, puedes llenar 2 bolsas más:

3 x 3 x 3 diamantes

Para llevar cómodamente las 3 bolsas, las metes en una cesta.  Siguiendo tu ruta a lo Hansel y Gretel millonarios, puedes llenar 3 cestas más:

3 x 3 x 3 x 3 diamantes

A estas alturas puedes hacerte un gran collar de diamantes o una colección de minerales, muy poco variada, pero muy brillante. Porque tenemos en total, 3 cestas con 3 bolsas cada una, que contiene 3 saquitos cada una y cada saquito hay 3 diamantes, es decir, tiene 81 diamantes.

3 x 3 x 3 x 3 = 81

En una multiplicación, donde todos los factores (es decir, los números que se multiplican) son iguales, se puede escribir de una forma mucho más breve.

Primero escribimos el factor que se repite en toda la multiplicación (aquí el 3).

Luego miramos cuántas veces se está repitiendo (en este caso el 3 se multiplica 4 veces).

Ecribimos 4 en la parte superior derecha del 3, un poco más pequeño:

34

Esto, que se lee 3 elevado a 4, no es otra cosa que una forma corta de escribir 3 x 3 x 3 x 3, así que sigue dando 81:

34 = 81

Partes de una potencia

El factor que se repite (el 3) se llama base:

34 = 81

La cantidad de veces que se repite (el 4) es el exponente:

34 = 81

Y el resultado, es la potencia:

34 = 81

Ejemplos de potencias

Si vemos esta potencia:

25

que se lee, 2 elevado a 5 (o más brevemente 2 a la 5), sabemos que significa 2 x 2 x 2 x 2 x 2, es decir, el 2 multiplicado 5 veces, que da 32.

25 = 32

Esta potencia:

62

es 6 elevado a 2. Cuando un número está elevado a 2, tradicionalmente también se le llama al cuadrado, es decir, esto sería 6 al cuadrado. De las dos formas es correcta. Y significa 6 x 6, es decir, 36.

62 = 32

Y ésta potencia:

83

Es 8 elevado a 3. Las potencias con exponente 3 también tienen un nombre tradicional, a esta potencia también se le puede llamar 8 al cubo. Significa 8 multiplicado 3 veces, y da 512.

83 = 512

¿Las potencias tienen la propiedad conmutativa?

Recuerda que conmutar significa intercambiar. Es decir, ¿podemos intercambiar el número de la base y el número del exponente sin que eso afecte al resultado? (si no tienes muy claro que es la propiedad conmutativa, puedes repasarte esta entrada)

Veamos. Si tenemos 34 (3 elevado a 4), que significa multiplicar el 3 cuatro veces seguidas, da:

3 x 3 x 3 x 3 = 81

Si intercambiamos (conmutamos) la base y el exponente (el 3 y el 4), tendremos 43 (4 elevado a 3). Y esto significa que multiplicamos el 4, 3 veces seguidas. Es decir:

4 x 4 x 4 x 4 = 64

Como vemos 3 a la 4 da 81, y 4 a la 3 da 64, NO es lo mismo.

Por tanto, las potencias No tienen propiedad conmutativa.

Potencias de exponente 1

¿Cuánto da un número elevado a 1?

Veamos. Si un número lo elevamos a 4, es que lo multiplicamos por sí mismo 4 veces. Por ejemplo, 24 sería:

2 x 2 x 2 x 2 = 16

Si lo elevamos a 3 (al cubo), lo multiplicamos 3 veces:

2 x 2 x 2 = 8

Elevado a 2 (al cuadrado), 2 veces:

2 x 2 = 4

Y a la 1, sólo se pone una vez, así que dará el mismo número 2:

2 = 2

Siempre que elevemos un número a la 1, el resultado será el mismo número.

Así que, por norma general ya no nos molestamos en escribir el exponente 1.

Potencias de exponente 0

¿Qué ocurre si elevamos un número a 0?

Nuestro primer impulso es pensar que un número elevado a 0 tiene que dar 0, porque no estaremos multiplicando ningún número. Pero en realidad no es exactamente así.

Fijémonos. Recordemos que:

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

23 = 2 x 2 x 2 = 8

22 = 2 x 2 = 4

21 = 2

¿Pero y 20? Sé que es difícil pero no cedamos a inercia de poner un 0.

La diferencia entre 24 y 23 es que en 23 estamos multiplicando el 2 una vez menos, por eso el resultado es la mitad.

Si nos fijamos, pasar de 16 a 8 (los resultados de 24 y 23) es como dividir entre 2, ya que en realidad estamos quitando una multiplicación por 2.

Al pasar de 23 a 22 pasa lo mismo, es como dividir por 2 (pasamos del resultado 8 al resultado  4).

Lo mismo de 22 a 21.

Así que si seguimos la tendencia, al pasar de 21 a 20 es como dividir entre 2. Como 21 da 2, el resultado de 20, aunque no sea muy intuitivo, es 1.

20 = 1

El mismo razonamiento se puede hacer para cualquier número. Así que elevar un número, cualquier número, a 0, siempre da 1.

30 = 1

100 = 1

3.4620 = 1

Resumiendo:

  • Una potencia es una forma breve de escribir una multiplicación donde todos los números que se multiplican son iguales.
  • El número que se multiplica se llama base, las veces que se multiplica es el exponente, y el resultado es la potencia.
  • Si el exponente es 2, también se le puede llamar “al cuadrado”. SI el exponente es 3, “al cubo”.
  • Las potencias no tienen propiedad conmutativa.
  • Un número elevado a 1 da el mismo número.
  • Un número elevado a 0 da 1.

Ejercicios con las propiedades de las potecias.

Realiza aquí algunos ejercicios o unos cuantos problemas para practicar las propiedades de la potencias.